Pythagore avait un arbre

Je ne sais pas pour vous, mais je n’avais jamais entendu parler de l’arbre de Pythagore. Afin d’éveiller votre curiosité, voici une représentation de cet arbre:

Que de couleurs!

Le tout peut paraître banal, mais il est intéressant de savoir que l’aire du grand carré rouge à la base de l’arbre a la même aire que la somme des aires de tous les autres petits carrés rouges de l’arbre. Dans le même ordre d’idées, l’aire du triangle jaune est égale à la somme des aires des autres petits triangles jaunes. Vous voyez la suite! Je ne sais malheureusement pas quelle utilité nous pouvons y trouver, mais c’est une belle application du théorème de Pythagore! Il doit  y avoir quelques heures de travail derrière tout cela!

Les chinois en font toujours plus…

Le théorème de Pythagore n’était pas assez complet pour certains, alors voici le théorème de Gougu, gracieuseté des chinois:

“la base multipliée par elle-même fait un carré vermillon, la hauteur multipliée par elle même un carré bleu-vert et l’on fait en sorte que ce qui entre et ce qui sort se compense l’un l’autre “

Cette preuve utilise le principe du puzzle : deux surfaces égales après découpage fini et recomposition ont même aire. Voici une représentation visuelle pour débuter:

Voyons le tout en animation pour que cela devienne plus clair…

Cela vous donne mal au coeur? Et bien moi j’ai eu un petit mal de tête, alors ne vous en faites pas! Sûrement pas la meilleure approche en début d’année au secondaire!

Preuve dérivée avec lunules… c’est pas du gâteau!

Une fois lancé dans les démonstrations, il est difficile d’arrêter, on y prend goût quoi! Cette fois-ci, j’aimerais saluer mon ami Hippocrate de Chios (-470–410), un mathématicien Grec qui est célèbre grâce aux lunules! Tout d’abord, une lunule est la surface délimitée par deux cercles non concentriques de rayons différents, formant un ménisque en forme de croissant de lune. Voici l’ébauche visuelle de la preuve:

Nous pouvons discerner les 2 lunules en turquoise ainsi que le triangle rectangle

La preuve consiste à considerer 3 demi-cercles, celui qui a l’hypoténuse comme diamète, et les autres les cathètes. La différence des demi-cercles des cathètes et de celui de l’hypoténuse (en enlevant préalablement le triangle rectangle) nous donne les deux lunules. Ce qui est intéressant de constater et de prouver, c’est que l’aire des 2 lunules est égale à l’aire du trangle de Pythagore! Une preuve dérivée qui date encore une fois d’un autre millénaire!

Cessez d’insister, vous l’avez!

Comme je sentais de la pression venant de mon auditoire, voilà la fameuse preuve, cela ira davantage rapidement que de vous recevoir un à un. Je dois également remercier mon ami Euclide qui a punlicisé la preuve avant moi, mais bon, laissons-lui ses grâces.

Un peu de sérieux, voilà donc cette fameuse preuve! On se doit d’abord de faire un découpage judicieux afin de trouver nos triangles semblables dans la figure:

Étape préliminaire

Si nous comparons les triangles semblables obtenus et ce, avec les mouvements et effets spéciaux:

La clef de la démonstration!

Tadam! Non mais c’est pas joli? Quelques variantes existent sur le marché, mais le principe reste le même! Une telle preuve existe depuis plus de 2000 ans, et leurs savoirs et connaissances étaient plus maigres qu’aujourd’hui. Cela m’épate encore! Cette preuve est de plus un beau projet réalisable au secondaire lors de l’introduction à la géométrie et aux preuves!

Une preuve sous la poussière!

L’énoncé de Pythagore s’est quelque peu déformé et adapté aux cours des années. Pour les gens de l’époque de Pythagore, le carré d’un nombre n’existait pas en tant que tel, ils préféraient voir le côté géométrique. En fait, on construisait un segment d’une longueur voulu, puis on bâtissait sur ce dernier un carré. Le “vieux” théorème de Pythagore se lirait plus comme: Si un angle d’un triangle est droit, alors la somme des aires des carrés construits sur 2 côtés est égale à l’aire du carré construit sur le troisième. Ce qui a amené les pythagoriciens a considérer différentes preuves, comme celle qui est représentée ci-dessous:

Voici une des premières preuves du théorème!

La preuve est plutôt laborieuse et renderait le présent texte plutôt lourd, mais il s’agit de séparer le carré de l’hypoténuse en 2 rectangles et de prouver que chacun est égaux à un des carrés construits sur les cathètes à l’aide de triangles rectangles. Vous prenderez un rendez-vous, et je vous la ferai en détails sur papier!

Tout est nombre!

Pythagore s’est lancé dans les mathématiques, mais souvent nous ne retenons de lui que son fameux théorème de Pythagore, que certains croient qu’il n’en serait peut-être pas l’auteur! Mais nous ne sommes pas ici afin d’éclaircir cette rumeur! Pythagore et ses fidèles ont également travaillé en arithmétique. En effet, ils se sont intéressés aux nombres triangulaires et aux nombres carrés, que l’on peut bien cerner dans l’illustration suivante:

Ce qui est intéressant puisque nous voyons encore ces nombres à l’université aujourd’hui! Les pythagoriciens ont associé à ces figures géométriques certaines formules telles que n² + (2n + 1) = (n + 1)². Le terme ajouté à n² pour obtenir (n + 1)² s’appelle le gnomon. Dire que ces découvertes dates de plus de 2000 ans! Tout simplement génial!

Les démonstrations de Pythagore!

Première démonstration

Pour la démonstration, je devrai vous faire travailler un peu.  Vous devrez dessiner étape par étape ce que je vous dis de faire.  Dessinez un carré dont les côtés sont de longueur a+b avec a plus petit que b.  Donc, un côté est constitué d’un segment qui mesure a et d’un autre qui mesure b.  Vous reliez le point situé entre le segment a et b au même point sur le côté suivant.  Ceci formera quatre triangles rectangles à l’intérieur du carré et un petit carré.  Les triangles sont donc de côtés a et b comme quatètes et je propose que l’hypoténuse mesure c.  Donc, le petit carré a une aire de c².  Nous savons aussi que l’aire du gros carré est de (a+b)².  Bon, là le cours de dessin est fini, passons au côté algébrique des mathématiques.  Si on développe (a+b)² on obtient a²+2ab+b² ce qui nous donne aussi l’aire du grand carré.  Maintenant, additionnons l’aire de chacun des triangles et du petit carré.  4(ab)/2+c² ce qui donne si on simplifie 2ab+c².  On sait aussi que cette expression donne l’aire du grand carré.  Donc, on peut écrire que (a+b)²=a²+2ab+b²=2ab+c².  Si on se concentre sur cette partie de l’équation a²+2ab+b²=2ab+c².  On peut réduire l’expression à celle-ci :a²+b²=c² ce qui nous donne exactement l’équation du théorème pythagore.