Preuve dérivée avec lunules… c’est pas du gâteau!

Une fois lancé dans les démonstrations, il est difficile d’arrêter, on y prend goût quoi! Cette fois-ci, j’aimerais saluer mon ami Hippocrate de Chios (-470–410), un mathématicien Grec qui est célèbre grâce aux lunules! Tout d’abord, une lunule est la surface délimitée par deux cercles non concentriques de rayons différents, formant un ménisque en forme de croissant de lune. Voici l’ébauche visuelle de la preuve:

Nous pouvons discerner les 2 lunules en turquoise ainsi que le triangle rectangle

La preuve consiste à considerer 3 demi-cercles, celui qui a l’hypoténuse comme diamète, et les autres les cathètes. La différence des demi-cercles des cathètes et de celui de l’hypoténuse (en enlevant préalablement le triangle rectangle) nous donne les deux lunules. Ce qui est intéressant de constater et de prouver, c’est que l’aire des 2 lunules est égale à l’aire du trangle de Pythagore! Une preuve dérivée qui date encore une fois d’un autre millénaire!

Cessez d’insister, vous l’avez!

Comme je sentais de la pression venant de mon auditoire, voilà la fameuse preuve, cela ira davantage rapidement que de vous recevoir un à un. Je dois également remercier mon ami Euclide qui a punlicisé la preuve avant moi, mais bon, laissons-lui ses grâces.

Un peu de sérieux, voilà donc cette fameuse preuve! On se doit d’abord de faire un découpage judicieux afin de trouver nos triangles semblables dans la figure:

Étape préliminaire

Si nous comparons les triangles semblables obtenus et ce, avec les mouvements et effets spéciaux:

La clef de la démonstration!

Tadam! Non mais c’est pas joli? Quelques variantes existent sur le marché, mais le principe reste le même! Une telle preuve existe depuis plus de 2000 ans, et leurs savoirs et connaissances étaient plus maigres qu’aujourd’hui. Cela m’épate encore! Cette preuve est de plus un beau projet réalisable au secondaire lors de l’introduction à la géométrie et aux preuves!