L’avant Pythagore

La formule a²+b²=c² est reconnu pour être la formule pour trouver la mesure de l’hypoténuse d’un triangle à partir de ces deux cathètes.  Cette formule a été découverte par Pythagore autour des années 500 av.J.-C..  Cette formule découle d’un théorème nommé Théorème de Pythagore.  De cette formule, découle des triplets pythagoriciens.  On nomme triplet pythgoriciens tous nombres, il en faut trois, satisfaisant l’équation a²+b² = c².   Depuis le début du XIXième siècle, nous avons découvert quelques 500 000 tablettes d’argile babyloniennes.  L’une d’entre elles est plus célèbre.  Il s’agit de Plimton 322, qui fut écrite au XVIII siècle  av.J.-C..  Sur cette tablette, on retrouve plusieurs triplets pythagoriciens.Ainsi, nous remarquons que les triplets pythgoriciens étaient connus bien avant la naissance de Pythagore.  Par contre, nous ne savons pas si les Babyloniens savaient ce qu’ils utilisaient.  Ils avaient certes de grandes connaissances en mathématique, mais ils ne savaient pas nécessairement qu’ils utilisaient les mathématiques.  Pour eux, c’était plutôt géométrique.

Énoncé et réciproque

Nous parlons du théorème de Pythagore, mais nous ne l’avons pas énoncé proprement et clairement comme il se doit! Le théorème de Pythagore d’aujourd’hui se lit comme suit:

Si un triangle est rectangle, alors le carré de son hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés (cathètes).

Il est également intéressant de considérer la réciproque du théorème de Pythagore, car elle est également vraie. La voici donc:

Si dans un triangle le carré du plus grand côté est égal à la somme des carrées des deux autres côtés, alors le triangle est rectangle (a un angle droit).

Nous avons donc un si et seulement si! Consulter les autres articles pour différentes preuves!

Les pythagoriens et le Mal

Les pythagoriciens (les membres de la Fraternité) ont en particulier travaillé sur la tétractys. Ce dernier serait pour eux un “nombre universel” qui  symboliserait l’univers. Ce nombre forme, selon eux, un triangle “parfait” dont tous les cathètes valent 4 chacune et l’hypothénuse 10.

Pourquoi ce triangle et l’univers? Parce que le tétractys renfermerait la dyade et la monade, qui sont à l’origine de tout, le pair et l’impair, le bien et le mal… L’univers serait dix corps célestes : la “sphère des étoiles fixes”, les cinq planètes qu’ils connaissent, le soleil, la lune, la terre, la “contre-terre” que personne n’a vue mais qu’ils sont obligés d’inventer pour que le total fasse dix ! Quand certains pensent que la Fraternité serait une secte, nous pouvons comprendre pourquoi! Le tableau suivant donne la signification des nombres selon les pythagoriciens… à prendre avec un grain de sel! Nous sommes loin du 666!

arithmétique	philosophie	géométrie
1 l’unité = le “père” des autres nombres	monade = le mal	le point
2	dyade = le bien	la ligne
3		le triangle, le plan
4	le corps physique	la pyramide, les solides
5	le corps physique + la couleur
6	le corps physique + la couleur + la vie

Pythagore avait un arbre

Je ne sais pas pour vous, mais je n’avais jamais entendu parler de l’arbre de Pythagore. Afin d’éveiller votre curiosité, voici une représentation de cet arbre:

Que de couleurs!

Le tout peut paraître banal, mais il est intéressant de savoir que l’aire du grand carré rouge à la base de l’arbre a la même aire que la somme des aires de tous les autres petits carrés rouges de l’arbre. Dans le même ordre d’idées, l’aire du triangle jaune est égale à la somme des aires des autres petits triangles jaunes. Vous voyez la suite! Je ne sais malheureusement pas quelle utilité nous pouvons y trouver, mais c’est une belle application du théorème de Pythagore! Il doit  y avoir quelques heures de travail derrière tout cela!

Les chinois en font toujours plus…

Le théorème de Pythagore n’était pas assez complet pour certains, alors voici le théorème de Gougu, gracieuseté des chinois:

“la base multipliée par elle-même fait un carré vermillon, la hauteur multipliée par elle même un carré bleu-vert et l’on fait en sorte que ce qui entre et ce qui sort se compense l’un l’autre “

Cette preuve utilise le principe du puzzle : deux surfaces égales après découpage fini et recomposition ont même aire. Voici une représentation visuelle pour débuter:

Voyons le tout en animation pour que cela devienne plus clair…

Cela vous donne mal au coeur? Et bien moi j’ai eu un petit mal de tête, alors ne vous en faites pas! Sûrement pas la meilleure approche en début d’année au secondaire!

Preuve dérivée avec lunules… c’est pas du gâteau!

Une fois lancé dans les démonstrations, il est difficile d’arrêter, on y prend goût quoi! Cette fois-ci, j’aimerais saluer mon ami Hippocrate de Chios (-470–410), un mathématicien Grec qui est célèbre grâce aux lunules! Tout d’abord, une lunule est la surface délimitée par deux cercles non concentriques de rayons différents, formant un ménisque en forme de croissant de lune. Voici l’ébauche visuelle de la preuve:

Nous pouvons discerner les 2 lunules en turquoise ainsi que le triangle rectangle

La preuve consiste à considerer 3 demi-cercles, celui qui a l’hypoténuse comme diamète, et les autres les cathètes. La différence des demi-cercles des cathètes et de celui de l’hypoténuse (en enlevant préalablement le triangle rectangle) nous donne les deux lunules. Ce qui est intéressant de constater et de prouver, c’est que l’aire des 2 lunules est égale à l’aire du trangle de Pythagore! Une preuve dérivée qui date encore une fois d’un autre millénaire!

Cessez d’insister, vous l’avez!

Comme je sentais de la pression venant de mon auditoire, voilà la fameuse preuve, cela ira davantage rapidement que de vous recevoir un à un. Je dois également remercier mon ami Euclide qui a punlicisé la preuve avant moi, mais bon, laissons-lui ses grâces.

Un peu de sérieux, voilà donc cette fameuse preuve! On se doit d’abord de faire un découpage judicieux afin de trouver nos triangles semblables dans la figure:

Étape préliminaire

Si nous comparons les triangles semblables obtenus et ce, avec les mouvements et effets spéciaux:

La clef de la démonstration!

Tadam! Non mais c’est pas joli? Quelques variantes existent sur le marché, mais le principe reste le même! Une telle preuve existe depuis plus de 2000 ans, et leurs savoirs et connaissances étaient plus maigres qu’aujourd’hui. Cela m’épate encore! Cette preuve est de plus un beau projet réalisable au secondaire lors de l’introduction à la géométrie et aux preuves!

Une preuve sous la poussière!

L’énoncé de Pythagore s’est quelque peu déformé et adapté aux cours des années. Pour les gens de l’époque de Pythagore, le carré d’un nombre n’existait pas en tant que tel, ils préféraient voir le côté géométrique. En fait, on construisait un segment d’une longueur voulu, puis on bâtissait sur ce dernier un carré. Le “vieux” théorème de Pythagore se lirait plus comme: Si un angle d’un triangle est droit, alors la somme des aires des carrés construits sur 2 côtés est égale à l’aire du carré construit sur le troisième. Ce qui a amené les pythagoriciens a considérer différentes preuves, comme celle qui est représentée ci-dessous:

Voici une des premières preuves du théorème!

La preuve est plutôt laborieuse et renderait le présent texte plutôt lourd, mais il s’agit de séparer le carré de l’hypoténuse en 2 rectangles et de prouver que chacun est égaux à un des carrés construits sur les cathètes à l’aide de triangles rectangles. Vous prenderez un rendez-vous, et je vous la ferai en détails sur papier!

Tout est nombre!

Pythagore s’est lancé dans les mathématiques, mais souvent nous ne retenons de lui que son fameux théorème de Pythagore, que certains croient qu’il n’en serait peut-être pas l’auteur! Mais nous ne sommes pas ici afin d’éclaircir cette rumeur! Pythagore et ses fidèles ont également travaillé en arithmétique. En effet, ils se sont intéressés aux nombres triangulaires et aux nombres carrés, que l’on peut bien cerner dans l’illustration suivante:

Ce qui est intéressant puisque nous voyons encore ces nombres à l’université aujourd’hui! Les pythagoriciens ont associé à ces figures géométriques certaines formules telles que n² + (2n + 1) = (n + 1)². Le terme ajouté à n² pour obtenir (n + 1)² s’appelle le gnomon. Dire que ces découvertes dates de plus de 2000 ans! Tout simplement génial!

De la musique… aux mathématiques!

Notre bon vieil ami  romain Boethius (480-525) a raconté cette histoire sur son rival Pythagore, et ce quelques siècles après la mort de ce dernier. Pythagore serait passé devant un forgeron quand le son des marteaux sur les enclumes attira son attention. Pourquoi, à répétition, entend-il le même son? Il tenta d’échanger les marteaux entre les forgerons, mais en vain, la force de l’homme sur le-dit marteau ne changeait rien au son. La curiosité de Pythagore fut piquée, et il passa plusieurs jours à observer les forgerons. Il pesa les marteaux utilisés, puis compara les résonances. Il établie ainsi la gamme musicale qui repose principalement sur les quatre intervalles consonants (unisson, octave, quinte, quarte). Il montre par exemple qu’à partir d’un do, une corde deux fois plus courte permettrait d’entendre un DO élevé d’une octave et une corde trois fois plus courte donnerait un sol. Il est fort intéressant de constater que Pythagore avait trouvé le lien mathématique de la musique, et ce, avant la naissance du Christ!

Ici nous voyons Pythagore (à droite) vs Boethius (à gauche), selon leur méthodes de calcul respectives